系统没有理由给予动能的一个分量比其他分量更多的能量。因此，我们假设系统的能量均匀地分布在动能的所有组成部分中。这个假设就是等分定理。虽然这个定理在量子效应显著时并不成立，但在经典力学中却成立。我提到等分定理是为了让我们可以假设系统可以以相同的概率成为球体上的任何一点。

基本计数定理

基本计数定理指出：

例如，如果你掷一个骰子，有六个可能的结果（{1，2，3，4，5，6}）。如果你掷硬币，有两种可能的结果（{H，T}）。如果你掷骰子和抛硬币，就有12种可能的结果（{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}）。

在我们的例子中，有m个可能的位置和n个可能的动量，所以有mn个可能的微观状态。由于m与体积成正比，n与球体的表面积成正比，所以多重性与以下情况成正比：

去掉单位

如果我问你某件事情的发生会有多少种可能的结果，你可以说是二或二百万，但你不能说是二百万米。任何事物的数量后面都不能有单位，这就给我们带来了一个问题，因为我们的乘数有焦耳和秒（都是三次方）。为了解决这个问题，为了消去这个，我们可以除以某个常数，其单位是焦耳和秒。h（普朗克常数）恰好满足条件，因为海森堡测不准原理：

考虑空间所有的三个维度，我们最终会得到：

也就是体积乘以动量的立方，所以你可以想象把动量位置空间分割成大小为h^3的“立方体”。

回到多重性问题上

熵的精确值对这个问题并不重要，因为我们只关注熵的差异。在这一点上，我们现在有以下关于一个单数粒子的多重性的表达式。

关于单位的问题

这个表达式没有正确的单位。2mU是动量的平方，而我们需要动量的三次方。我们可以通过乘以一个常数或取根号2mU的三次方。一旦我们处理大量的粒子，我们会选择第二个方法。

多个粒子

我们可以对任何独立的量使用基本计数定理。

常量

由于常数是独立于系统的，我们将用N个粒子中的每一个的倍率除以h^3，剩下的就是：

位置

正如我在前面对理想气体的定义中所说，粒子不占用空间，也不相互作用。因此，每个粒子的位置是独立于任何其他粒子的。由于我们有独立的位置，我们将把每个粒子的多重性乘以V，剩下的就是：

动量

不同于常数和位置，动量是相互依赖的。考虑每个粒子的动能相对于总能量的关系。

记住，我们要求的是在给定的能量下，分配动量的可能方式的数量。如果我们把能量改为X焦耳，那么我们就在寻找分配动量的可能方式的数量，以便使总能量为X焦耳。出于这个原因，我们在这一部分的分析中认为能量是恒定的。

接下来的部分听起来比实际情况更糟糕。如果我们看一下动量项，有一堆平方值加起来等于一个常数。两个平方值加在一起得到一个常数，是一个圆。三个平方值，是一个球体。但这里超过三个平方值，所以是一个超球体。为了找到动量的多重性，我们需要求一个n维的超球体的表面积。不过，不要被吓到。数学使我们能够让我们讨论看不见的事物。

超球体

有很多方法可以求一个n维球体的表面积。在这个推导中，我不做直接积分，那样会比较麻烦。相反，我们将利用n维球体的属性：

• 我们可以把一个n维球面表示为半径的平方和。
• 任何n维物体的体积都与它的半径的n次方成正比。

• 表面积是体积相对于半径的导数。


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文章来源：《中学生数理化》 网址: http://www.zxsslhzzs.cn/zonghexinwen/2022/0508/865.html




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