这个比例关系很有用。你需要用长度来表示n维体积，体积应该随着半径的增加而增加。表面积和体积之间的关系也是有用的。想象一下，在一个球体上涂上数千层颜料。每一层都能在保持球的球形的同时增加球的体积。如果你不断添加图层，你会得到一个和地球一样大的球体。如果你想要一个2D的可视化示例，请看下面图像：

如果我们把最后两个特点结合起来，我们最终会得到：

有了这个结果，我们可以看到，我们只需要求出V_n就可以得到我们的答案。

求解思路

我们要想出两个不同的表达方式，这两个表达方式相互之间是相等的。其中一种方式将包含V_n，另一种则不包含。二次方之和和n维体积微分元素（dVn）都需要在这些表达式中至少有一个出现。

然后，我们设这两个表达式相等，并求解V_n。

其中一个表达式中的平方之和

我们想要尽可能多的平方相加，所以我们要寻找一个函数f和一个运算★（加法、减法、乘法、除法或任何二级运算），满足f（a+b）=f（a）★f（b）。如果我们找到这样一个函数和运算，那么：

这个方程可以让我们用f(r^2)和f(x^2)运算，这让计算更容易。

如果我们让★为加法，f(x)=x，那么我们最终会在超球坐标中进行积分，这是我想避免的。除了让f(x)=x之外，我看不出有什么其他方法可以满足上述对f的限制，而★是加法，所以让我们试试其他方法。减法行不通，因为f(a+b)=f(b+a)，这意味着f(a)★f(b)=f(b)★f(a)。在数学术语中，★必须是可交换的。由于减法不是可交换的，所以我们不能用它。除法也是如此。乘法是我们剩下的唯一基本运算。在这种情况下，我们需要一些满足f(a+b)=f(a)f(b)的函数。

不绕弯子了，我们把f(x)当作一个指数函数。由于我们使用的是微积分，我们希望以e或1/e为底数。由于x^2总是正的，所以当x上升到无穷大时，exp(x2)将上升到无穷大，这使得积分更难计算。另一方面，exp(-x)在x到无穷大时为零，所以我们选择函数f(x)=exp(-x)。

其中一个表达式中的体积微分元素

所以现在，我们只需要一个带有dVn的表达式。dVn表示一个积分或导数。我们要解决的是体积问题，所以我们将尝试使用积分。记住，我们计算的是exp(-x^2)，它有一个著名的积分：

如果你想自己推导，可以找一个类似的积分，然后试着把原来的积分转换成更容易的积分。你可能想研究一下极坐标，因为dA=r dθ dr，你可以使用这个r，或者研究一下莱布尼兹规则/费曼积分下的微分。总之，如果我们将n个高斯积分相乘，我们可以用f(a)f(b)=f(a+b)，最后我们会得到：

我们对x进行积分，所以我们可以在不改变积分值的情况下随意称呼它们。左半部分有一个平方的和，而右半部分是一个已知值。

为了使用这个方程，我们需要做一些说明，并想出一些定义。首先，注意积分是在n维的空间上。我们将使用一些东西来表示独立于坐标表达的区域。其次，注意所有dx的组合是n维的体积元素，即dVn。最后，我们可以利用平方之和等于r^2的事实。作为一个简单的总结：

把它放在一起，我们可以得到：

求解vn

现在，我们将使用dVn和dr之间的关系：

将其代入积分并设定适当的边界条件（r=0到r=∞），我们就可以得到：

现在，我们做一点代数和微积分的计算：

我们让u = r^2进行u置换，然后我们意识到伽马函数的定义，即n的解析延拓。你可以把伽马函数看作是用一条平滑的曲线连接n！的所有值。具体来说：

你可以用归纳法和部分积分法来证明。

文章来源：《中学生数理化》 网址: http://www.zxsslhzzs.cn/zonghexinwen/2022/0508/865.html

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