请注意，斯特林近似法不仅适用于伽玛函数，也适用于阶乘。我们将在后面利用这一结果。如果我们求出vn，那么我们可以得到体积和表面积。

代入n = 2，就得到了圆的周长和面积。然后代入n = 3，就得到了球面的表面积和体积。

代入半径和维数的具体值，就得到了：

双重计数

假设我们现在有两个粒子。每个粒子都有一个特定的动量和位置。假设我们把这两个粒子换一下，使第一个粒子具有第二个粒子的位置和动量，反之亦然。这两种情况描述的是同一个微观状态，这意味着我们必须除以2。有了更多的粒子，任何排列组合都会描述相同的微观状态。我们必须用多重性除以排列组合的数量，即N！以避免多次计算同一微观状态。如果我们不考虑无法区分的粒子，我们就会违反热力学第二定律。

单原子理想气体的多重性

综上所述，我们有：

我做了两个简化。首先，前面的2给熵增加了一个我们可以忽略的小常数。第二，我把2mU的平方根的幂增加了1。你可以把这想象成通过乘以一个小的厚度将表面积转换为体积。如果你想知道为什么这些近似值有效，就不要做这些近似值，看看这些值之间的差别（N是10^23的数量级）。除此以外，我还清理了表达式。

单原子理想气体的熵

现在我们有了理想气体的多重性，我们可以用它来求熵：

我们通过代入N个粒子的多重性，从第一行到第二行。然后，我们用对数规则分解乘积。然后，我们应用斯特林近似法，所以我们最后得到的是N ln N - N，而不是ln N！。由于Γ(n)=(n-1)！，我们也可以使用斯特林的近似值。我们可以忽略斯特林的伽马函数近似中的-1，因为n>>1。然后，我们将N分解，加上3/2和1得到5/2，将前面有3/2的两个项带入一个对数，再将剩下的两个对数合并。对于最后一行，我们将所有的对数合并为一个对数。我们得出了理想气体的熵的萨库尔-特德罗方程。现在，我们已经非常接近理想气体定律，但我们还需要做一些工作，把压力和温度纳入我们的数学。

热力学第一定律

现在，我们有了萨库尔-特罗德方程式（ the Sackur-Tetrode Equation），我们可以使用热力学第一定律来推导出理想气体定律。目前，热力学第一定律对我们帮助还不是很大，所以我们必须用温度、熵、压力和体积来重写它。首先，我们将用差分的方式重写两边的内容：

其中dU是一个精确微分，Q和W都是非精确微分。

精确微分和非精确微分

精确微分的积分只取决于其端点（又称路径独立），而非精确微分则取决于如何从一个端点到另一个端点。举个例子，重力势能是一个精确微分。如果你举起一个物体，你就增加了它的势能。如果你把它放回原处，你就把它的势能减少到原来的值。另一方面，你在举起重物和放下重物时都失去了能量。因此，功必须是一个不精确的微分。

熵和温度方面的热量

鉴于熵的定义：

从压力和体积的角度看功

功取决于力和距离，所以我们需要从压力和体积中获得力和距离。通过查看单位，我们可以得到一个相当好的猜测。压力是[力]/[距离]^2，体积是[距离]^3。我们要的是[力]乘以[距离]。如果我们把压力和体积相乘，我们会得到正确的单位。我们怎么知道它们的乘积是功呢？

考虑一个活塞。

活塞通过膨胀（又称体积变化）将一个物体用一个力推过一段距离。如果我们考虑到活塞推动物体的一面，我们就得到一个面积。有了力和面积，就得到了压力。有了面积和距离，就得到了体积。

这个小s是路径元素，它是一个有方向的无限小的距离。压力总是指向表面的内部或外部，所以它总是与体积变化的方向相同或相反。不管怎么说，我们可以把点积变成它们的大小的积。我们最后得到的结果是：